정리1

선택편향이 있을 때 조건부 분포 $P(y|t)$는 $(Y \perp \!\!\! \perp S| T)$일 때만 $P(y|t, S=1)$로부터 복구 가능하다

정리1은 S와 Y가 직접적으로 연결되었을 때는 인과관계를 복구할 수 없다는 뜻이기도 하다. 이는 앞서 인종에 따른 폭력진압 문제는 분포를 가정하거나 다른 가정을 강화하지 않는 한 복구 불가능하다는 것이다. 그러면 왜 소개한건지 모르겠음

위 상황에서 do-calculus 첫번째 규칙을 이용하자 (근거: $(S,W \perp\!\!\perp Y) \space in \space G_{\overline X}$)

$P(y|do(x)) = P(y|do(x), w, S=1)$

$= \sum_zP(y|do(x), z, w, S=1)P(z|do(x),w,S=1)$

다시 do-calculus 두번째 규칙으로 제거해보자 (근거: $(Y \perp\!\!\perp X | Z,W) \space in \space G_{\underline X}$)

$\sum_z P(y|do(x), z, w, S=1)P(z|do(x),w,S=1)$

$= \sum_z P(y|x,z,w,S=1)P(z|do(x),w,S=1)$

다시 do-calculus 세번째 규칙으로 제거해보자 (근거: $(Z \perp\!\!\perp X | W) \space in \space G_{\overline X}$)

$\sum_z P(y|x,z,w,S=1)P(z|do(x),w,S=1)$

$= \sum_z P(y|x,z,w,S=1)P(z|w,S=1)$